基于有限体积方法的页岩气多段压裂水平井数值模拟
陈小凡1, 唐潮1, 杜志敏1, 汤连东1, 魏嘉宝2, 马旭3
1.“油气藏地质及开发工程”国家重点实验室·西南石油大学;
2.中国石化胜利油田分公司河口采油厂
3.中国石油长庆油田分公司第五采气厂

作者简介:陈小凡,1968年生,副教授,硕士;主要从事油气藏工程及数值模拟方面的研究工作。地址:(610500)四川省成都市新都区新都大道8号。电话:13980789767。ORCID: 0000-0002-0158-1236。E-mail: chenxf@swpu.edu.cn

通信作者:唐潮,1988年生,博士研究生;主要从事渗流力学及油气藏数值模拟方面的研究工作。地址:(610500)四川省成都市新都区新都大道8号。电话:15281051231。E-mail: 201511000111@stu.swpu.edu.cn

摘要

为了实现页岩气在多尺度介质中的流动模拟,考虑页岩气在基质—天然微裂缝和人工大尺度压裂缝中的流动特征,建立页岩气多段压裂水平井不稳定渗流数学模型,针对模拟区域采用非结构四面体网格进行网格剖分,基于有限体积方法离散建立页岩气三维渗流数值模型,然后通过顺序求解的方法进行求解,进而模拟页岩气多段压裂水平井的生产动态和储层压力分布变化,并对模拟结果进行分析。研究结果表明:①采用所建立的数值模拟计算方法与商业数值模拟软件Eclipse计算的多段压裂水平井产气量基本一致,证实该模型正确、可行;②分别采用顺序求解方法和全隐式求解方法计算得到的页岩气水平井产气量虽然在生产初期存在着差异,但随着计算的推进,二者迅速趋于一致,进一步验证了该模型的正确性;③尽管解吸气对地层压力具有补充作用,但作用有限,对产气量的影响不大,随着生产时间的延长,解吸气量在产气量中所占比例逐渐上升;④确定合理的压裂段数且获得较长的压裂缝长,是页岩气水平井增产改造的核心。结论认为,该研究成果有助于页岩气储层体积压裂的设计以及多段压裂水平井生产动态的预测。

关键词: 页岩气; 水平井; 体积压裂; 有限体积方法; 三维渗流数值模拟; 顺序求解; 全隐式求解; 解析气; 产气量
Numerical simulation on multi-stage fractured horizontal wells in shale gas reservoirs based on the finite volume method
Chen Xiaofan1, Tang Chao1, Du Zhimin1, Tang Liandong1, Wei Jiabao2, Ma Xu3
1. State Key Laboratory of Oil & Gas Reservoir Geology and Exploitation//Southwest Petroleum University, Chengdu, Sichuan 610500, China;
2. Hekou Oil Production Plant, Sinopec Shengli Oilfield Company, Dongying, Shandong 257015, China
3. No.5 Gas Production Plant, PetroChina Changqing Oilfield Company, Xi'an, Shaanxi 710000, China
Abstract

In order to simulate the flowing of shale gas in multi-scale media, we established a mathematical model for the unsteady seepage of multi-stage fractured horizontal wells in shale gas reservoirs in consideration of the flowing characteristics of shale gas in matrix, natural fractures and large-scale artificial fractures. Grid division in the simulation region was carried out by means of nonstructural tetrahedral grid. Then, a 3D numerical model for the seepage of shale gas was established discretely using finite volume method and solved using sequence solution method. Finally, the production performance of multi-stage fractured horizontal wells in shale gas reservoirs and the reservoir pressure distribution were simulated, and the simulation results were analyzed. And the following research results were obtained. First, the gas production rates of multi-stage fractured horizontal wells calculated by this newly established numerical simulation method are basically consistent with the calculation results by the commercial numerical simulation software Eclipse, which proves that this new model is accurate and feasible. Second, the gas production rates of horizontal wells calculated by the sequential solution method are different from those calculated by the fully implicit solution method in the early production stages, but as the calculation progresses, both of them tend to be consistent, which further verifies the accuracy of this new model. Third, desorbed gas plays a supplementary role to reservoir pressure, but its function is limited, and its effect on gas production is little. As the production goes on, the percentage of desorbed gas increases gradually. Fourth, the key to the stimulation of shale-gas horizontal wells is to determine the number of fractured sections rationally and create longer artificial fractures. In conclusion, the research results are conducive to the design of stimulated reservoir volumes (SRVs) of shale gas reservoirs and the prediction of production performance of multi-stage fractured horizontal wells.

Keyword: Shale gas; Horizontal well; Stimulated reservoir volume; Finite volume method; 3D numerical simulation of seepage; Sequential solution; Fully implicit solution; Desorbed gas; Gas production rate
0 引言

合理考虑不同类型介质中页岩气的流动机理对于页岩气数值模拟具有重要意义[1]。现有的页岩气数值模拟模型主要包括双重介质、多重离散介质和等效介质模型, 其中双重介质模型使用较为广泛。Kucuk和Sawyer[2]首次研究了基于双孔模型的页岩气储层压力变化。随后, Bumb和McKee[3]通过对Langmuir等温吸附方程添加额外的吸附系数来研究吸附— 解吸行为对不稳定流动瞬态行为的影响。然而, 以上研究工作都忽略了纳米及微米尺度的扩散过程。Carlson和Mercer[4]通过在双孔模型中引入解吸扩散项研究页岩气直井压力的变化, 由于该模型没有考虑滑脱效应, 在生产初期对页岩气产能预测结果偏小。Swami等[5]建立了一个考虑Knudsen扩散、滑脱以及吸附— 解吸过程的双重介质模型, 并通过实验室数据进行了验证。

虽然双重介质模型在各类商业软件中广泛使用, 由于其固有缺陷, 即使进行全网格或局部加密, 仍然对多尺度以及大面积分布的缝网系统适应性较差。首先, 传统双重介质模型均没有考虑页岩中多尺度流动机理, 不能真实反映页岩气井生产实际[6, 7, 8]。其次, 由于页岩储层中存在复杂的多尺度缝网, 造成数值模拟工作中渗透率场非均质性严重, 如果要对局部裂缝区域进行网格剖分, 势必产生大量的极小化网格, 导致计算收敛性差甚至无法收敛[9, 10]。同时, 基质— 裂缝界面处流度的剧烈变化也产生了阶跃现象, 造成的非物理振荡会对计算精度产生影响[11, 12]。因此, 双重介质模型应用在页岩气模拟中最大的限制在于难以选择合适的特征体积单元, 由于裂缝的多尺度性, 裂缝性储层是否存在特征体积单元或特征体积单元大小的确定仍存在较大争议。因此, 部分学者提出采用多重介质模型来对页岩气井产能进行模拟研究[13, 14]。基于多重介质的概念, Schepers[15]、Dehghanpour等[16]分别建立了将吸附— 解吸过程与基质中流动耦合的达西流动模型。Wu等[17]和张烈辉等[18]将裂缝划分为天然微裂缝和人工压裂缝, 建立了考虑裂缝应力敏感和滑脱效应的致密裂缝性油藏多重介质模型, 气体在基质中的流动考虑滑脱效应, 在裂缝中的流动为高速非达西流动, 并比较了多重介质模型与双重介质模型的差别。Aboaba和Cheng[19]利用线性流模型描述了页岩气储层中压裂水平井的典型产能曲线及产量变化规律, 但没有考虑吸附和扩散的影响。Wang等[20]采用嵌入式离散裂缝描述大尺度裂缝、连续模型描述中小尺度裂缝的方法建立了一种模拟页岩多尺度裂缝中的流体流动模型。方文超等[21]考虑致密储集层的可压缩性和基质流体的非线性渗流, 建立了基于二维体积压裂的多尺度渗流裂缝模型。

在前人研究的基础上, 笔者将基质— 天然微裂缝视为双重介质、人工压裂缝视为离散介质, 考虑基质孔隙中页岩气的吸附— 解吸效应, 建立了描述页岩气复杂流动过程的数学模型, 基于有限体积方法离散得到页岩气三维渗流数值模型, 利用降维方法将压裂缝处理成二维平面实体, 井筒处理为一维线元实体, 再利用顺序求解方法进行求解, 进而模拟页岩气多段压裂水平井生产动态和储层压力分布变化。所取得的研究成果可用于页岩气储层体积压裂设计以及多段压裂水平井的生产动态预测。

1 数学模型
1.1 模型假设

图1为页岩储层中一口多段压裂水平井网格模型示意图, 整个模拟区域沿x轴方向长度为1 200 m、y轴方向宽度为800 m、z轴方向高度为100 m。水平井段长度为700 m, 多段压裂水平井空间配置如图1-a所示, 人工压裂缝主缝半长100 m, 缝高60 m; Ⅰ 级分支裂缝缝长70 m, 缝高60 ; Ⅱ 级分支裂缝缝长50 m, 缝高60 m。人工压裂缝用二维面元实体表示, 水平井段用一维线元实体表示。为简化模型, 作出如下假设:①气藏为矩形封闭页岩气藏, 流动为单相气体等温渗流, 忽略重力、气体滑脱、Knudsen扩散及应力敏感影响; ②水平井位于气藏中心位置, 人工压裂主裂缝垂直于井筒且关于井筒对称, 气体只能通过人工压裂缝流入井筒; ③气体在人工压裂缝、天然微裂缝中的渗流服从达西定律, 基质中页岩气吸附— 解吸过程采用Langmuir等温吸附方程描述; ④气井定压生产, 忽略水平井水平段压降。

图1 网格模型示意图
注:点C、F为两个相邻控制体的形心; f为界面(绿色背景); b为界面f的边界(红色线); dhf为人工裂缝无因次开度; dCf为控制体形心指向界面形心的位置向量, m; Sf为界面f上指向外侧的法向向量, m2

1.2 控制方程

1.2.1 控制方程推导

根据真实气体状态方程, 页岩气密度计算式为:

$\rho_{gi}=\frac{M_{g}P_{i}}{ZRT}$(1)

式中ρ gii=m、f、hf)表示基质、天然微裂缝和人工压裂缝中气体密度, kg/m3; Mg表示气体摩尔质量, g/mol; pii=m、f、hf)表示基质、天然微裂缝和人工压裂缝压力, MPa; Z表示气体偏差因子, 无量纲; R表示气体普适常数, 8 314 J/(kmol· K); T表示气藏温度, K。

依据物质守恒定律, 基质中页岩气连续性方程为:

式中φ m表示基质孔隙度, 无因次; t表示时间, s; Km表示基质渗透率, mD; μ g表示气体黏度, mPa· s; qm表示基质解吸气率, kg/(m3· s); qmf表示基质向微裂缝窜流率, kg/(m3· s)。

式(2)左边第1项为单位体积基质微元内流体质量变化, 第2项为通过微元表面流出的流体质量通量, 第3项为基质解吸气量, 第4项为基质向裂缝窜流量。在此假设微孔隙内为单相气, 由页岩基质表面的吸附气和孔隙内游离气组成, 根据Langmuir等温吸附方程得到基质中解吸气量计算式为:

式中Vm表示单位体积基质吸附气量, m3; Vstd表示标准状况下气体摩尔体积, m3/mol; VL表示Langmuir体积, m3/kg; pL表示Langmuir压力, MPa。

而页岩气在微裂缝中的连续性方程为:

式中φ f表示天然微裂缝孔隙度, 无因次; Kf表示天然微裂缝渗透率, mD; qhf表示微裂缝向人工压裂缝窜流率, kg/(m3· s)。

同理, 在水力压裂缝中的连续性方程为:

式中φ hf表示人工裂缝孔隙度, 无因次; Khf表示人工压裂缝渗透率, mD; qwell表示水平井产气率, kg/(m3· s)。

1.2.2 初始条件

式中pinit表示原始地层压力, MPa。

1.2.3 边界条件

Γ out表示求解域外边界, Γ in表示内边界。假设模型外边界为封闭边界, 生产井定压生产, 则边界条件为:

式中∂ n表示边界切线方向微元长度, m; pwf表示井底流压, MPa。

2 模型离散与求解
2.1 求解域离散

由于四面体网格几何中心与形心重合, 为简化计算步骤, 本文以四面体网格和Delaunay三角形网格分别对基质— 微裂缝和人工压裂缝进行网格剖分。其他类型网格需要重新计算控制体形心, 在此不再详述。首先将基质— 微裂缝系统用四面体网格表示, 考虑为连续介质(图1-b); 人工压裂缝降维处理成二维平面, 由四面体网格间Delaunay三角形界面表示(图1-c), 对裂缝降维是提高多尺度模拟计算收敛性的关键处理方法, 若在网格系统内将裂缝考虑为三维, 必然会在开度很小的裂缝空间内进行四面体网格剖分, 进而形成大量的极小化网格, 导致后续求解过程无法继续[22]。Juanes等[23]研究表明, 将裂缝考虑成二维比将其考虑成三维的计算收敛性显著提高。控制体单元由网格剖分所得到的四面体确定(图1-c), 该方法可保证控制体单元互不重叠地覆盖整个研究区域。然后, 将整个求解区域Γ d划分为两个子域Γ m– fΓ hf, 分别代表基质— 微裂缝区域和人工压裂缝区域, 根据连续介质场理论, 整个模拟区域流动控制方程(Flow Governing Equation, 简称为FGE)的积分形式为:

2.2 空间离散

本节以基质系统流动方程为例说明在四面体网格中的求解方法。微裂缝与人工压裂缝求解方法与之类似。首先将式(1)、(3)代入式(2), 并在控制体VC范围内进行积分, 即

式中VC表示以C为形心的控制体; dV表示控制体微元体积, m3

式(9)说明, 对于任意控制体, 在某一时间段内基质系统气体质量流量的变化等于流入流出基质气量与基质解吸气量以及基质— 微裂缝窜流量之和, 因此保证了该模型在任意局部网格仍然遵守质量守恒定律。

式(9)中不稳定流动项可以近似表达为:

根据散度定理, 将体积积分转化为面积分, 则式(9)中对流项可以写为:

式中dS表示∂ VC上的面积微元, m2; n表示控制体外法向向量, 无因次。

进一步对控制体VC的面积分写作对控制体各界面上通量面积分之和的形式为:

式中SC表示构成控制体VC的所有界面, 以图1-c为例, 控制体VC由4个三角形界面构成。

进一步由梯形积分公式可知, 在界面f上的面积分可以写为:

式中Sf表示界面f上指向外侧的法向向量, 有$S_{f}=\int\limits_{f}ndS$, m2

因此, 式(9)中对流项可以写为:

式中λ m表示基质中气体流度, m2/(mPa· s)。

同理, 得到源汇项有限体积计算式为:

式(15)等号右边第1项为控制体内解吸气量, 第2项为基质— 微裂缝窜流量。由于解吸气量是时间的函数, 则根据式(3)可以将基质系统流动方程的有限体积离散格式改写为:

同理可以得到微裂缝及人工压裂缝中流动方程离散格式为:

式中λ fλ hf表示天然微裂缝和人工压裂缝中气体流度, m2/(mPa· s); SCF表示控制体VC与大尺度裂缝共用的界面; b表示构成界面f的所有边界; lb表示垂直边界b的外法向向量, $l_{b}=\int\limits_{b}ndl$, m2, 其中l是边界b的长度(二维界面厚度为1)。

2.3 顺序求解方法

所谓顺序求解方法, 就是在每个时间步上, 首先求解出某个变量, 再代入其他变量表达式进行迭代求解。此方法保证了在每个时间步上计算量小于整体求解方法。假设当前时间步为k, 则所有与人工压裂缝压力及基质压力有关的变量都采用(k+1)时间步的值进行隐式求解, 则式(16)、(18)可以写为:

注意到式(19)、(20)中pf使用的是k时间步的值, 是一个已知数。因此两式中各含有一个未知变量phfpm。因此可以使用Newton-Raphson方法迭代求解。将求解得到的$P_{hf}^{k+1}$和$P_{m}^{k+1}$带入微裂缝流动方程对裂缝压力进行显式求解, 得

2.4 压力梯度的近似计算

显然, 为求解式(19)、(20)、(21), 需要计算控制体内压力梯度的变化, 在此给出一种基于格林高斯定理的方法, 该方法相对简单且适合各种几何结构的网格(结构/非结构, 正交/非正交)[24, 25]。体积为VC、形心为C的控制体内平均压力梯度$\overline{\nabla Pc}$计算式为:

根据散度定理将体积积分转化为面积分, 有

对于离散界面, 式(23)可以写为:

然后, 将沿控制体表面的面积分用积分中值定理近似表示为表面形心处的插值乘以表面向量的形式, 即

由式(25)可知, 为计算控制体内压力梯度, 首先需要知道控制体表面向量Sf, 并通过控制体形心处压力值pC和相邻控制体形心处压力值pF插值得到界面f上的压力$\overline{P_{f}}$, 其插值格式为:

$\overline{P_{f}}=g_{F}p_{F}+g_{c}p_{c}$(26)

其中gCgF为考虑控制体体积VCVF的权重值, 计算公式为:

考虑到相邻的两个控制体(网格编号分别为jk), 表面向量Sf不能同时向外, 因此对于特定网格定义表面向量方向由控制体网格编号确定, 始终由编号较小的控制体指向编号较大的控制体, 则式(25)改写为:

2.5 非正交网格中表面向量的处理

由于本文中采用的非结构网格, 其网格形态往往是非正交的。即控制体表面向量Sf与连接控制体形心的向量$\overrightarrow{CF}$不共线, 也就是说控制体表面法向向量与流体速度(压力梯度)方向不一致。这种情况下, 因为存在一个垂直于向量$\overrightarrow{CF}$的分量, 控制体的压力梯度不能写成f(pC, pF)形式[26, 27, 28, 29]

定义e为沿着形心C、F连线所确定方向的单位矢量, m, 则沿着e方向的压力梯度可以表示为:

式中rCrF表示形心C和F的位置向量, m; dCF表示相邻控制体形心C与F间的距离, m。

因此, 为了实现非正交网格中通量的线性化, 表面向量Sf应该写作两个向量EfTf之和, 即

Sf= Ef+ Tf(29)

其中向量Ef沿着形心C、F连线方向, m2; TfSf的非正交分量, m2, 则通过界面f的通量可以表示为:

对于向量EfTf的计算通常有以下3种方法(表1)。

表1 非正交网格中控制体表面向量分解方法

上述3种分解方法所得到的结果均满足式(7)中扩散通量计算需要, 其主要差别主要体现在非正交网格计算过程中的准确性和稳定性。根据前人研究发现, 即使在高度非正交的网格中超松弛修正方法仍能保证通量计算的稳定性[24, 25, 30, 31]

2.6 模型验证

2.6.1 模型对比验证

为了验证有限体积方法的正确性, 建立矩形封闭气藏模型, 在基质和微裂缝中仅考虑黏性流的影响, 忽略吸附— 解吸机制, 并认为人工压裂缝为无限导流缝, 模型参数如表2所示。将模拟结果与油气藏商业数值模拟软件Eclipse(以下简称软件Eclipse)计算的结果进行对比, 如图2所示, 本文模型与软件Eclipse计算的水平井产气量基本一致, 说明本文采用的数值计算方法正确、可行。

表2 多段压裂水平井数值模拟参数表[32]

图2 本文数值解与软件Eclipse计算结果对比图

如图2所示, 在早期段本文数值解与商业软件计算结果存在一定误差, 原因在于压裂缝附近网格精度不够导致(最大单元步长15 m, 最小单元步长3 m, 最大单元递增率1.2, 单元曲率因子0.5, 狭窄区域分辨率0.8), 可以通过对压裂缝位置处的网格进行加密处理以提高计算精度。

2.6.2 求解方法对比

基于前述模型, 通过不同求解方法(顺序求解方法和全隐式求解方法)进行计算, 结果显示差距主要在生产初期, 顺序求解方法计算得到的开井瞬时产气量为195× 104 m3/d, 而全隐式求解方法计算得到的开井瞬时产气量为167× 104 m3/d, 但随着计算推进, 两种方法计算的产气量迅速趋于一致(图3), 进一步验证了模型的正确性。

图3 不同求解方法计算结果对比图

3 实例模拟
3.1 预设参数

根据本文参考文献[1], 建立页岩气多段压裂水平井模型, 原始地层压力30 MPa, 地层温度为343.15 K, 基质孔隙度为8%, 基质渗透率为0.003 mD, 天然微裂缝孔隙度为0.3%, 天然微裂缝渗透率为0.5 mD, Langmuir体积为4× 10– 3 m3/kg, Langmuir压力为5 MPa, 页岩密度为2 600 kg/m3, 甲烷分子摩尔质量为16 g/mol, 标况下页岩气摩尔体积为0.022 4 m3/mol, 气体黏度为1.85× 10– 2 mPa· s, 井底流压为5 MPa。通过软件Eclipse和CMG计算发现, 在上述模型压力变化过程中气体偏差因子变化范围介于0.908 9~0.982 8, 利用多项式拟合将偏差因子改写成压力函数的形式。多段压裂水平井空间配置如图1-a所示, 人工压裂缝主缝导流能力为15 D· cm, Ⅰ 级分支裂缝导流能力为10 D· cm, Ⅱ 级分支裂缝导流能力为7 D· cm。

3.2 模拟结果分析

3.2.1 Langmuir体积的影响

基于物理模型参数, 模拟页岩气多段压裂水平井生产情况, 如图4所示, 在前5年储层压力下降区域主要集中在体积改造区域, 而未压裂区域内储层压力变化幅度较小, 表明该阶段产出的气体主要来自体积改造区域内的游离气及解吸气。

图4 不同生产时间地层压力分布图

图5为不同Langmuir体积所对应的平均地层压力、解吸气量、产气量以及解吸气贡献比变化曲线。可以看出, 解吸气使地层压力上升, 但作用有限, 对产气量影响不大; 随着生产时间延长, 解吸气量绝对值逐渐减少, 但是在产气量中所占的比例逐渐上升。

图5 不同Langmuir体积下水平井生产动态预测曲线图

3.2.2 裂缝形态的影响

通过改变压裂段数进一步研究裂缝形态对页岩气水平井产气量的影响, 模拟结果显示, 生产5年时, 3段压裂模式下的压降区域范围与4段压裂模式下的压降区域范围较接近(图6); 4段压裂模式下投产初期产气量(64× 104 m3/d)为3段压裂模式下初期产气量(47× 104 m3/d)的1.37倍, 但4段压裂模式下产气量递减速度更快, 5年后两种压裂模式下的水平井产气量基本一致, 且该阶段的累产气量曲线平行(图7)。由此可见, 压裂段数继续增加对于增加累产气量效果已不显著, 需要通过增加裂缝半长来扩大储层改造体积。确定合理的压裂段数, 同时获得较长的压裂缝长, 是页岩气水平井增产改造措施的核心内容。

图6 不同压裂段数水平井生产5年时地层压力分布图

图7 不同压裂段数下页岩气水平井生产曲线图

4 结论

1)采用所建立的模型与软件Eclipse计算的多段压裂水平井产气量基本一致, 说明该数值计算方法正确、可行; 通过顺序求解方法和全隐式求解方法的对比, 进一步验证模型的正确性。

2)解吸气对地层压力有补充作用, 但作用有限, 对产气量影响不大, 随着生产时间的延长解吸气量在产气量中所占比例逐渐上升。

3)确定合理的压裂段数, 同时获得较长的压裂缝长, 是页岩气水平井增产改造措施的核心内容。

The authors have declared that no competing interests exist.

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