随机时空地震载荷下长输埋地压力管道的响应分析
张鹏1, 王艺环2, 秦国晋2
1.西南石油大学土木工程与建筑学院
2.西南石油大学机电工程学院

作者简介:张鹏,1964年生,教授,博士生导师,博士;主要从事油气管道完整性方面的研究工作。地址:(610500)四川省成都市新都区新都大道8号。电话:(028)83037635。ORCID: 0000-0003-2589-0022。E-mail: zp_swpi@sina.com

摘要

传统长输管道的抗震研究仅考虑随时间变化的一致地震激励,而客观上长输管道遭受的地震载荷是随时间和空间同时变化的四维时空激励。为此,从统计学的角度将其作为随机过程和随机场进行研究,考虑场地类型的影响,基于随机过程的随机地震功率谱模型——Clough-Penzien模型的正交展开和随机场的半理论半经验模型,建立了适合于实际工程的随机时空地震载荷的数学模型,进行多点激励下的管道响应分析,结合von-Mises第四强度理论进行埋地压力管道的应力分析,并以某长输埋地压力管道为例,进行了数值模拟与分析。研究结果表明:①对于长输管道而言,非一致地震激励下的响应大于一致激励下响应的影响;②四维时空地震场域的耦合响应可以基于地震数据和模型处理后再进行分析;③地震作用下长输管道的响应具有随机时空的特性。结论认为:长输埋地压力管道在遭受地震载荷时,科学合理的分析设计方式需要同时考虑时空效应的影响;所建立的随机时空地震载荷模型,对于长输管道抗震设计具有重要的参考价值。

关键词: 地震; 地震激励; 地震载荷; 随机过程; 随机场; 随机时空耦合; 四维时空; 长输管道
Response analysis of long-distance buried pressure pipelines under seismic loads based on the stochastic space-time coupling
Zhang Peng1, Wang Yihuan2, Qin Guojin2
1. School of Civil Engineering and Architecture, Southwest Petroleum University, Chengdu, Sichuan 610500, China
2. School of Mechatronic Engineering, Southwest Petroleum University, Chengdu, Sichuan 610500, China
Abstract

Seismic research on long-distance buried pressure pipelines has become an important issue in current pipeline safety assessment. The seismic load is objectively a four-dimensional space-time excitation that changes with time and space. From a statistical point of view, it can be used as a time-varying stochastic process and a stochastic field with spatial variation. This paper proposes a concept of stochastic space-time for the time-varying characteristics of seismic loads and the time-delay effect of spatial variation. Considering the influence of site types, based on the stochastic deployment of the Clough-Penzien model of stochastic ground motion spectrum model and a kind of a semi-theory and semi-empirical model of stochastic field, a mathematical model of stochastic space-time seismic loads suitable for practical engineering was established. According to the dynamic equation of uniform excitation, the response analysis of long-distance buried pressure pipelines under multi-point excitation was carried out, and the stress analysis was made based on the von-Mises’s fourth strength theory. In a case study, such numerical simulation and analysis were carried out and the following findings were achieved. (1) As for long-distance pipelines, response from the non-uniform excitation has a greater impact than that from the uniform excitation. (2) The coupling response from the four-dimensional space-time excitation should be re-analyzed based upon seismic data after being modeled. (3) The response of pipelines under seismic loads is featured by random time and space. In conclusion, the time-varying characteristics of the loads and the motion correlation at any point of the ground motion site should be both considered in a reasonable analysis and design method, and the proposed model is of great significance to the design and research of long-distance pipelines under seismic loads.

Keyword: Seismic; Seismic excitation; Seismic load; Stochastic process; Stochastic field; Stochastic space-time coupling; Four dimensional time-space; Long-distance pipeline
0 引言

地震的地面运动是非平稳随机过程, 随机过程是一个无限维随机变量, 其显著表现在进行地震分析时庞大的计算量。基于大量随机变量的Karhunen-Loeve(K-L)分解是经典的地震随机过程表示法[1]。李杰和刘章军[2]利用少量随机变量的二次正交展开法来描述地震。有了对地震随机过程的理论基础, 研究领域开始着手于影响因素的探究。但现有规范中只有欧洲抗震规范考虑了地震载荷的空间影响[3]。而空间跨度较大的结构不仅受到地震载荷的时变特性影响, 而且对地震载荷的空间相关性也十分敏感。事实证明, 地震波沿大跨度结构进行传播的过程中, 由于地震作用运动不同步而产生时滞效应, 即地震载荷是随着时间和空间同时变化。Hindy和Novak[4]首次基于空间变化影响下在统计分析了结构的响应。大跨结构的多点激励响应问题是台阵记录装置被广泛应用之后进行的统计研究。具有代表性的是Loh[5]利用SMART-1地震台阵记录的数据得出地震的空间相关性。陈利琼等[6]从实验的角度论证了长距离的隧道结构考虑非一致地震激励的必要性。在地震波的传播过程中, 由于不同场地类型的局部场地影响, 也会对大跨度结构产生较大影响。因此, 在对大跨度结构进行抗震分析的时候, 有必要同时考虑地震载荷的随机时空特性[7, 8, 9]

1 地震的随机过程
1.1 非平稳地震随机过程的定义

随机过程是在任意的时间点获得随机变量任意值的历程。平稳随机过程和非平稳随机过程是从统计数据的规律对随机过程的分类。简而言之, 多元随机变量的推广就是一维的随机过程。

地震作用的统计特征是随时间的推移而变化。强烈的地面运动是具有瞬变时间的非平稳随机过程。对于非平稳地震载荷的研究, 随时间变化确定性的强度函数和零均值的平稳随机过程的乘积可以反映这种随机过程的非平稳性[10]

1.2 随机过程的数学特征

统计上将自相关定义为随机过程中不同状态数值之间的Pearson相关, 这是一个信号本身在不同时间点的互相关, 即作为两次观测时间差之间的函数。由于平稳随机过程的自相关函数相当于自谱密度中包含的过程信息, 可以根据自相关函数的Fourier变换表示定理来定义谱密度。而谱密度表示的是幅值在该随机过程频域中的统计信息。Wiener[11]根据Fourier变化来定义谱密度, 即:

τ =0时, 则

式中Sx(ω )表示自功率谱密度函数, m2/s3; Rx(τ )表示自相关函数; i 表示虚单位; τ 表示时间差, s; ω 表示自振频率, ω ∈ (– ∞ , +∞ ), r/s; x(t)表示自功率谱密度函数, t∈ (0, +∞ ), m2/s3; t表示时间, t∈ (0, +∞ ), s; σ 2表示x(t)的均方值。

实际中, 波形的负频域并不存在, 所以设Gx(ω )为实际自功率谱密度函数, 即Gx(ω )为Sx(ω )=2Gx(ω ), 如图1所示。

图1 自功率谱密度函数图

1.3 地震的随机过程模型及其正交展开

1.3.1 地震的随机过程模型

在随机地震模型中, 具有代表性的是Kanai-Tajimi功率谱密度模型和各类基于此修正的模型。但Kanai-Tajimi模型放大长周期地震的能量且限制了边界条件。随后众多学者在此基础上进行了修正, 其中利用最广泛的是由Clough和Penzien提出的随机地震功率谱模型Clough— Penzien模型Scp(ω )如下[12]

式中S0表示零均值的高斯白噪声(滤波器输入)的谱密度, m2/s3; ω g表示场地特征频率, r/s; ξ g表示场地特征阻尼比; ω f表示低频滤波的场地特征频率, r/s; ξ f表示低频滤波的特征阻尼比。

1.3.2 地震随机过程的正交展开

许多随机现象从研究的角度可以用随机过程去描述。从数学的角度, 合理利用功率谱密度函数分析地震的随机过程是在数值特征分析范围的研究。在直观上难以反映随机过程样本与作为确定性函数的功率谱密度函数之间所具有的直接联系。而本质上随机过程的运用是一种高效的压缩数据和提取整个过程本质特征的方法。基于标准正交基的随机过程展开方法[3]的指导思想在于利用少量互不相关的随机系数组成的确定性函数的线性组合形式来描述随机过程, 利用独立随机变量从概率的角度反映地震的复杂程度。

随机过程K-L分解的基本思想是组合互不相关的随机系数描述确定性函数的线性形式, 其利用独立的随机变量集合进行随机过程研究[12]。K-L分解的主要特征在于随机过程的主要能量相干结构只需少量的展开项就可以描述。

K-L分解是定义在概率空间(x, y, z)和有界区间D上的实值随机过程u(x), 均值函数为u(x), 对于任意xD, 其有限方差E[u(θ , x)– u(x)]2是有界的, 则随机过程可表示为:

式中u(x)表示随机过程; u(x)表示均值函数; λ i表示随机过程u(x)协方差函数C(x1, x2)的特征值; η i表示无量纲的随机变量; fi(x)表示随机过程u(x)的协方差函数C(x1, x2)的特征函数; x1x2表示变量。

由Mercer定理[13], 随机过程的协方差函数C(x1, x2)可以分解为:

式中C(x1, x2)表示协方差函数; fi(x1)表示变量x1的特征函数; fi(x2)表示变量x2的特征函数。

λ ifi(x)可以通过Fredholm积分方程得:

1.4 基于标准正交基的C-P模型正交展开[2]

基于概率特征的研究, 基于标准正交基的随机展开是旨在用少量的随机变量来反映随机过程, 其形式等同于K-L分解。

C-P模型的地震谱密度函数如式(4)所示, 其参数取值如表1~3所示, 其相应的自相关函数Rx(τ )为:

表1 C-P模型谱强度取值表
表2 C-P模型参数取值表[14, 15]
表3 展开项数和截断相数的取值表

式中π 表示圆周率; Ai(τ )表示第i项正交展开项, i=1, 2, 3, 4。

其中Ai(τ )的表达式为:

式中ω i表示第i阶自振频率, r/s。

因此, 反映地震随机过程的C-P模型的正交展开为:

式中$\ddot{X}(t)$表示地震动随机过程的加速度, m/s2; λ i表示特征值; Si表示互不相关的标准Guess随机变量{Si|i=1, 2, …, n}; Fi(t)表示C-P模型协方差的特征函数。

Fi(t)的计算式为:

式中Ts表示地震动持续时间, s; N表示展开项数; n表示截断项数; η n+1表示能量能效系数; φ i, n+1表示地震位移过程相关矩阵的标准特征向量的第n+1行元素; ψ n(t)表示归一化的Hartley正交基函数。

2 地震的随机场

地震在空间变化主要指相干效应\行波效应和场地效应。由于地震波在传播中引起能量在空间中相干性损失, 称为相干效应。行波效应指地震波以有限速度引起的相位差变化, 其本质上是地震波到达结构每个位置处的滞后的响应变化。局部场地效应指不同土层性质对地震波的影响, 当地震波的持续时间、地震的频谱特性以及地震的强度差异大时, 局部场地影响尤为显著。

2.1 随机场的定义

随机场是基于随机过程的概念, 是时间场域在空间场域上的推广。二者的不同之处在于随机过程是时变的随机现象, 其基本自变量是时间(t)。随机场的基本自变量是结构的空间坐标位置(x)。当H(x)表示为一个随机变量, 即随机场为在场域参数集上的随机变量系[16]

2.2 随机场模型

对于空间地震模型, 功率谱矩阵为[17]

式中[S(iω e)]表示功率谱矩阵; Sii(iω e)表示地震动的功率谱密度, 其描述了地震场中各点地震动的自身频域特性及各点间频率特性的对比关系, i=1, 2, 3…n, m, m2/s3; ω e表示地震频率, r/s。

式中Smn(iω e)表示mn两点的地震功率谱密度, m2/s3; |ρ mn|表示部分相干效应, |ρ mn|≤ 1; 表示行波效应, dmn表示mn两点的距离, m; v表示视波速度, m/s。

2.3 大跨度结构随机场模型

从宏观角度上看, 随机场为地震随空间变化的过程。近年来, 随着强震观测台阵记录的增加, 研究学者提出了利用统计回归来得到相干函数模型以表述地震的随机场[18, 19]

在频域下定义地震AB两点空间相干程度的函数, 即地震空间上的相关性可以引入相干函数, 定义如下:

式中γ AB(d, ω )表示相干函数; SAB(ω e)表示AB两点互功率谱, m2/s3; SAA(ω e)、SBB(ω e)分别表示AB两点的自功率谱, m2/s3; θ AB(ω e)表示AB两点的行波效应的相干角, (° )。

地震的相干函数是结构两点间的互功率谱经过自功率谱标准化得到[20]。相干函数多数是基于地震台关于大量的地震统计记录得到的, 一般可分为:经验相干模型、理论相干模型、半经验半理论相干模型。

选用由Luco和Wong[21]提出的具有普适性也是应用最为广泛的半理论半经验的相干模型:

式中γ p(ω e, d)表示半理论半经验的相干函数; α 表示相干衰减参数, 取值为(2~3)× 10– 4s; d表示任意两点的距离, m。

所研究的长输管道的有阻尼自振频率为:

式中ω ξ 表示管道有阻尼的自振频率, r/s; m表示单位长管道质量, kg/m; k表示单位长度管道周围的刚度系数; K表示管道轴向刚度, N/m; l表示管道的长度, m; ξ i表示第i阶振型阻尼比。

3 考虑场地条件的随机时空地震载荷

由相干函数和功率谱密度函数就可以得到具有时空效应的地震载荷。因此具有时空特性的地震载荷谱密度函数为:

式中S(t, d, ω )表示具有时空特性的地震载荷谱密度函数; κ 表示局部场地放大系数, 其取值如表4所示[22]; g(t)表示三阶段非平稳包络函数。

表4 局部场地放大系数表

进行地震载荷的非平稳性处理得到[23]

y(t)=g(t)x(t)(21)

式中y(t)表示非平稳处理后的非平稳随机过程。

三阶段非平稳包络函数常用于实际工程[24]

式中t1表示峰值上升段时间, s; t2表示峰值下降段时间, s; c表示峰值的衰减系数。

则考虑了局部场地效应的任意一点z的加速度为:

式中az(t)表示考虑了场地效应的z点加速度值, m/s2

4 随机时空地震下埋地压力管道的响应分析
4.1 管道在多点地震激励下响应分析

4.1.1 计算假定[25]

1)质量集中于节点。

2)忽略地震转动分量影响。

3)绝对坐标系相对地心静止。

4)阻尼力与相对速度成正比。

4.1.2 运动方程

结构的动力方程一般为:

式中[M]表示质量矩阵; $\{\ddot{U}\}$表示结构的加速度向量; [C]表示阻尼矩阵; $\{\dot{U}\}$表示结构的速度向量; [K]表示刚度矩阵; $\{U\}$表示结构的位移向量; $\{\ddot{U}_{g}\}$表示地面运动的加速度向量。

由式(24)可以得到多点地震激励下结构的运动方程为:

式中[Mss]、[Css]、[Kss]分别表示结构非支撑节点的质量矩阵、阻尼矩阵、刚度矩阵; [Mmm]、[Cmm]、[Kmm]分别表示结构支撑节点的质量矩阵、阻尼矩阵、刚度矩阵; $\{R_{bb}\}$表示地震力作用下的向量; $\{U_{ss}\}$、$\{\dot{U}_{ss}\}$、$\{\ddot{U}_{ss}\}$分别表示结构非支撑节点的位移向量、速度向量、加速度向量; $\{U_{mm}\}$、$\{\dot{U}_{mm}\}$、$\{\ddot{U}_{mm}\}$分别表示结构支撑节点的位移向量、速度向量、加速度向量; [Cms]、[Csm]和[Kms]、[Ksm]分别表示耦合的阻尼矩阵和刚度矩阵。

将式(25)进一步化简可以得到多点地震激励下的动力平衡式:

利用Matlab软件进行数值积分求解, 并进一步得到多点地震激励下的管道应力(σ e), 此时认为其方向为沿管道轴向[26]

4.2 埋地压力管道的响应分析

对运行埋地管道中通以内压时, 此时管道的应力可以用圆柱壳理论求解为[27]

式中ε 表示管道任意位置当前壁厚, mm; D表示直径, mm; E表示弹性模量, N/mm2; v表示泊松比; p表示内压, MPa; w表示管壁上任意点的径向位移, mm。

在输压的工况下, 管道此时存在周向应力(σ Φ ), 轴向应力(σ x)和径向应力(σ r)。当管道作为薄壁结构时, 此时σ r为0。在x=0时, σ Φ 最大, 由上式可得[28, 29]

埋地长输管线因受土壤的阻力而不能自由伸长, 造成泊松应力, 如图2所示。σ x可描述为:

图2 压力管道受力图

4.3 基于第四强度理论的管道失效准则

第四强度理论, 即von-Mises屈服失效准则, 被认为是导致管材流动失效为最大形状变化比能的主要因素, 故

式中σ s表示第四强度理论所建立的强度条件所对应的应力值, MPa; σ 1σ 2σ 3分别表示3个主应力, MPa。

结合前面分析可以得到, 地震作用下埋地压力管道的响应为:

5 数值模拟与分析
5.1 结构模型与地震输入

以某天然气管段为研究对象, 管道的参数如表5所示。设为近场地震, 中等场地土, 某次地震持续时间为5 s, 按2/5进行压缩, 压缩后时间为2 s。

表5 管材X60基本参数表

强度包络函数为:

参照本文参考文献[30]地震数据, 可得随机时空变化的载荷为:

式中a(t)表示加速度, m/s2

同理, 当考虑地震激励为一致输入时, 根据式(20)可以得到一致激励下地震载荷的谱密度函数:

S(t, w)=kg(t)S(w)(34)

式中S(t, ω )表示只考虑时间的功率谱密度, m2/s3

根据式(20)、(21)、(34)可以得到一致激励下的荷载:

5.2 基本参数

以Abaqus作为有限元计算软件。管土相互作用采用非线性的面— 面接触来建立三维有限元模型, 刚度大的管道外壁选为主表面, 刚度小的土体选为从表面, 法向接触行为采用“ 罚” 接触, 摩擦系数选用0.5。管道由实体单元模拟, 埋深为3 m, 管段长为200 m。土体由本构关系为Drucker-Prager(D-P)模型的实体单元模拟。材料基本参数如表6所示。

表6 材料基本参数表
5.3 有限元模型

模型中管道远端仅约束轴向位移。土体施加载荷的两对称表面和上表面自由, 其他面均为对称约束。选用C3D8R, 即8节点线性六面体减缩积分单元[31], 管线钢材的本构模型选用Ramberg-Osgood模型[32]。模型的网格划分如图3所示。

图3 网格划分图

5.4 有限元结果对比分析

建立3种工况, 即一致激励﹑非一致激励和非一致非连续激励, 一致激励是将长输管道作为“ 点” 式结构, 不考虑空间特性; 非一致激励模拟的是考虑地震载荷时空特性的长输埋地压力管道; 非一致非连续激励模拟的是在考虑长输埋地压力遭受地震载荷的时空特性的同时, 考虑放大空间的影响。

通过对3种工况的有限元模拟, 可以得到管道应力最大值处﹑中部以及端部的应力对比(图4~6)。

图4 管道应力最大点对比图

图5 管道中部应力对比图

图6 管道端部应力对比图

可以分析得出, 在分析管道的最大应力值和中部应力值时, 非一致激励的应力值大于一致激励应力值, 表明在长输管道或者大跨度结构的抗震分析时, 研究空间作用对其的影响是很重要的; 而非一致非连续的应力值大于非一致激励, 则进一步反映出空间作用的影响。而在端部, 3种工况的应力值则相差不大, 这表明若将管道作为“ 点” 式建筑, 则其不存在载荷的空间影响效应。

6 结论

1)利用随机过程和随机场, 基于功率谱进行了普适性的随机时空地震载荷的耦合, 建立了具有时空特性的非平稳地震载荷模型。

2)对于大跨度结构, 在地震载荷的作用下, 要考虑随机时空地震载荷4个维度对结构响应的影响。与一致激励相比, 由于客观上存在地震载荷随机空间的特征性质, 会引起大跨度结构响应结果存在较大的差别。

3)建立了随机时空地震载荷的模型, 进一步解决了实际地震作用下的大跨度结构响应问题, 对建立在地震作用下以长输管道为代表的大跨度结构的响应设计体系研究具有重要参考价值。

The authors have declared that no competing interests exist.

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